OMB- Eliminatoires 2012

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OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Mer 18 Jan - 17:37

1.
`(20.12)^2/(2.012*201.2)
`=(20.12)^2/(20.12*10^(-1)*20.12*10)
`=1
La réponse C est correcte!

2.
Il est possible qu' on tire d' abord toutes les pièces de 1 et 2 centimes, il faut donc tirer au moins `12+21+1=34` pièces. La réponse D est correcte!

3.
Le triangle vert a une surface de 10, le bleu de 12, le jaune de 9 et le rouge de 16 unités. Il reste encore un rectangle de 2 unités, ce qui fait un total de 49 unités!


4.
Soit `Delta` le discriminant:
La somme des racines vaut:
`(-12+sqrt(Delta))/2+(-12-sqrt(Delta))/2+(12+sqrt(Delta))/2+(12-sqrt(Delta))/2=0
La réponse C est correcte!
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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Mer 18 Jan - 17:44

5.
Il suffit de choisir 2 points sur des sommets opposés afin qu' on ait exactement 1 point sur chaque côté du cube! La réponse B est correcte!

6.
Il existe une infinité de nombres rationnels entre 0.499 et 0.4999, la réponse E est correte!

7.
La première affirmation est correcte, comme le sinus de 180° est nul, et `sin(C)=sin(180°-A-B)=sin(A+B)`, toutes les affirmations sont correctes et la bonne réponse est E.
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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Mer 18 Jan - 18:28

8.
`g(2)=6/2=3
`f(3)=2*3^2+6=2*9+6=18+6=24
La réponse E est correcte!

9.
On peut compter 68 cubes aux côtés, 12 cubes sur les faces au milieu et il se trouvent encore 8 cubes à l' intérieur, donc la réponse B (88) est correcte!

10.
Divisons la figure dans 2 triangles ABD et BCD, les triangles MAQ et CNP ont respectivent une surface de `1/4`de ces triangles, donc leur surface vaut `1/4`. La réponse C est correcte!

11.
La somme vaut:
`(-70+50)*121/2=1210
La réponse A est correcte!

12.
L' angle rouge vaut 55°, l' angle vert 100°, donc l' angle en P vaut 25°. La réponse C est correcte!
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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Mer 18 Jan - 18:58

13.
`sin(60°)=sin(120°)=sqrt(3)/2
`sin (180°)=0
Donc
`sin(60°)+sin(120°)+sin (180°)=sqrt(3)
La réponse D est correcte!

14.
Il y a 488 personnes dans la rue Courte, la réponse B est correcte!

15.
Soit a la longueur d' arrête
Aire du tétraèdre:
`4*(a*sqrt(3)/2*a/2)=324sqrt(3)
`iff a^2=sqrt(324)
`iff a=18
La réponse B est correcte.

16.


17.
Le discriminant `Delta` est `b^2-4ac` pour les deux équations, donc le nombre de solutions ne change pas, la réponse A est correcte!

18.
`10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=45` matchs seront joués, donc la réponse B est correcte!

19.
Soit n le nombre de termes.
Raison: r=4
La somme vaut `(1+1+(n-1)*4)*n/2=1540
`iff n=28
La somme comptera donc 28 termes.

20.
`f(3-x)` ne peut être impaire, car on effectue une translation de vecteur `3vec(i)` à la fonction `f(-x)` qui est une fonction impaire.

21.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Il faudra encore répondre aux questions 16 et 21, ainsi que 22-30 (que je n' ai pas encore publiées). J' ai trouvé les énoncés sur le site de l' OMB: http://omb.sbpm.be/modules/eli/eli.php?id=434
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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Mer 18 Jan - 19:46

22.
`43^2=(40+3)^2=1600+240+9=1849
L' année où ce pourrait avoir lieu est 1849 et la personne aurait alors 43 ans, donc elle est née en 1806. La réponse B est correcte.

23.

24.
Pour que le centre de symétrie devienne le point O(0,0) il faut effectuer une translation de coordonnées (-a,-b):
f(x+a)-b admet comme point de symétrie le point O et est donc impaire.

25.
`C_n^5<C_n^11
`iff (n!)/((n-5)!5!)<(n!)/((n-11)!11!)
`iff 5!(n-11)!>11!(n-5)!
`iff (n-11)(n-10)(n-9)(n-8)(n-7)(n-6)>6*7*8*9*10*11
`iff n>17
La bonne réponse est donc 17!
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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Mer 18 Jan - 20:14

26.
Comme on voit sur la figure ci-contre, la réponse A est correcte!


27.
Comme `(13*pi)/4>10`, il existe seulement 3 solutions (`pi/4` ,`(5*pi)/4` ,`(9*pi9)/4` ). La réponse D est correcte.

28.
Il suffit d' ajouter les parties entières de `(99)/5^alpha` , `alpha in NN` pour obtenir le nombre de '0' par lesquels se termine `99!`:
`[99/5]+[99/25]=19+3=22
Or `22-12=10` (on divise par `10^12` ), la réponse correcte est 10.

29.
`P(-1)=0` , donc -1 est une racine.
`P(2)=0` , donc 2 est également une racine.
En effectuant la division euclidienne de P(x) par (x+1)(x-2) on trouve (x-3)(x-6).
Donc les racines cherchées sont -1,2,3 et 6.
La somme des inverses vaut: `-1+1/2+1/3+1/6=-1+1=0` , la réponse B est correcte.

30.
Essayons avec p=3:
Si n=2, alors `9^2!=9*3*1
Donc on peut écarter les réponses A et B.
Si n=3, alors `27^2=27*9*3=27*27
Si n=4, alors `81^2!=81*27*9*3
Donc la seule réponse qui ne peut pas être fausse est la réponse D!
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Réponses manquantes: 14,16,21,23

Message  carole le Sam 21 Jan - 9:31

14. On a en tout 312 habitants qui jouent le tennis, dont 27 font les trois sports, 92 font le tennis et la pelote basque et 88 ne font que du tennis, donc `312-27-92-88=105` personnes font du tennis et du kayak.
Il y a en tout 224 personnes qui font du kajak, dont 22 ne font que ce sport, 105 font également le tennis, et 27 font les trois sports, donc il y a `224-22-105-27=70` personnes qui font la kayak et la pelote basque.
Il y a en tout 256 personnes qui jouent la pelote basque, dont 27 font les autres sports, 70 font le kayak et 92 jouent au tennis, donc 67 personnes ne font que ce sport.
Il y a donc `27+92+88+105+22+70+67+17=488`, la réponse B est correcte!

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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Dim 22 Jan - 14:03

16. J' utilisera les formules de trigonométrie suivantes: `tan(Pi-x)=-tan(x)` et `tan(x+y)=(tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))` :
`hat(AQP)=Pi-hat(AQD)-hat(PQC)=Pi-(hat(AQD)+hat(PQC))
D' où:
`tan(hat(AQP))=-tan(hat(AQD)+hat(PQC))
`=-(tan(hat(AQD))+tan(hat(PQC)))/(1-tan(hat(AQD))tan(hat(PQC)))
Or `tan(hat(AQD))=3/1=3` et `tan(hat(PQC))=1/2`:
`tan(hat(AQP))=-(3+1/2)/(1-3*1/2)=7/2*2=7
La réponse D est correcte.

21. On a 5 possibilités pour placer le '3', puis il reste 5 positions pour les '2' et 2 palces pour les '1':
`5*C^3_5*C^2_2=5*10*1=50
La réponse C est correcte.
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Re: OMB- Eliminatoires 2012

Message  carole le Dim 22 Jan - 15:41

23.

(J' ai pris comme unité le mètre)
Le rayon de l' arc de cercle correspond à la distance GD, car l' arc est circonscrit au triangle ABD.
Les points E et F (les milieux des segments BD et AD respectivement) ont comme coordonnées E(1.5,3.75) et F(-1.5,3.75).
Le point G est le point d' intersection des médiatrices de ABD.
La médiatrice passant par E a comme équation: `y=-3/7.5*x+k`, en remplaçant les coordonnées de E dans cette équation, on trouve `k=3.15`.
De même la médiatrice passant par F a comme équation `y=3/7.5*x+3.15` .
Comme la médiatrice de AB est l' axe vertical, le point G a comme coordonnées (0,3.15).
`DG=sqrt((0-0)^2+(7.5-3.15)^2)=4.35` .
Or 4.35 m = 435 cm, donc 435 est le bonne réponse!

Normalement je devrais maintenant avoir répondu à toutes les questions! Smile
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Toutes mes félicitations !

Message  G. Lorang le Dim 5 Fév - 16:42

J'ai enfin eu le courage de lire toutes tes réponses. BRAVO et un grand MERCI pour ton travail précieux sur ce site !
Toutes les réponses sont justes. Peut-être, pour t'aider dans la suite de ton parcours de l'OMB, 2 remarques importantes :

Question 4 : Plus simple : la somme des racines de la 1re équation est `-b/a=-12` et pour la 2e équation, cette somme est 12. Donc la somme totale est 0.

Question 29 : Soit le polynôme `p(x)=x^n+a_1x^(n-1)+a_2x^(n-2)+...a_(n-1)x+a_n` et soit `r_1`, `r_2`, ...` r_n` les racines (éventuellement complexes et non nécessairement distinctes) de ce polynôme. On a les :

Formules de Viète :
a) La somme des racines du polynôme `p(x)` est : `r_1+r_2+...+r_n=-a_1`
b) Le produit des racines de `p(x)` est : `r_1*r_2*...*r_n=(-1)^n*a_n`

Remarques :
a) On prend 1 comme coefficient de `x^n` pour simplifier un peu, mais on peut bien sûr adapter les formules si ce coefficient est différent de 1.
b) Le théorème fondamental de l'algèbre assure que tout polynôme du `n^e` degré à coefficients complexes admet `n` racines (non nécessairement distinctes).

En fait tous les coefficients peuvent s'écrire en fonction des racines : voir p.ex. : http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html ou http://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta

Le coefficient de `x` est encore particulièrement intéressant pour calculer la somme des inverses des racines du polynômes :

`r_2*r_3*r_4*...*r_n+r_1*r_3*r_4*...*r_n+r_1*r_2*r_4...*r_n+...+r_1*r_2*...*r_(n-1)=(-1)^(n-1)*a_(n-1)`
`iff P/r_1+P/r_2+...+P/r_n=(-1)^(n-1)*a_(n-1)` où `P` est le produit des racines.

Donc :
`1/r_1+1/r_2+...+1/r_n=((-1)^(n-1)*a_(n-1))/((-1)^n*a_n)`
`iff 1/r_1+1/r_2+...+1/r_n=-a_(n-1)/a_n`

Bien sûr cette formule n'a un sens que si aucune des racines n'est nulle, ce qui se traduit par le fait que `a_n<>0`

Pour résoudre la question 29 sans faire AUCUN CALCUL, on voit que le coefficient de `x` est 0, d'où le résultat !

Pour démontrer toutes les formules de Viète, il suffit d'écrire le polynôme `p(x)` sous la forme : `(x-r_1)*(x-r_2)*...*(x-r_n)` et d'effectuer ce produit !

Cordialement, G. Lorang
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Oubli ...

Message  G. Lorang le Dim 5 Fév - 16:50

Pardon j'ai oublié tes points de récompense ...
Je t'accorde un forfait de `30*10=300` points affraid pour ton travail, ok ??
Cordialement G. L.
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