CGMO 2008- Question 1

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CGMO 2008- Question 1

Message  carole le Mer 11 Jan - 18:59

(a) Est-il possible de partionner {1,2,3,...,96} en 32 sous-ensembles de même taille et de même somme?
(b) Est-il possible de partionner {1,2,3,...,99} en 33 sous-ensembles de même taille et de même somme?

a) La somme de tous les éléments de l'ensemble S={1,2,3,...96} vaut `((1+96)*96)/2=48*97` .
Soit x la somme d' un des sous-ensembles à former, il faut donc que `32* x=48* 97`.
Or cette équation n' est vérifiée que si `x=3*97/2`.
Comme x doit être un entier, on a montré que c' est impossible de diviser S en 32 sous-ensembles de même somme (et de même taille).

b) La somme de tous les éléments de l' ensemble S'={1,2,3,...,99} vaut `((99+1)*99)/(2)=50*99`.
Soit x la somme d' un des sous-ensembles à former:
`33*x=50*99
`iff x=150
Pour former 33 sous-ensembles de même taille il faut que chaque sous-ensemble ait 3 éléments `99/33=3`.
Par exemple:
{1,50,99}, {2,51,97}, {18,34,98},{19,35,96}

Or, on constate qu' en partant de l' ensemble {1,50,99}, en ajoutant toujours 1 à 1 et 50 et en retranchant 2 à 99, on obtient les ensembles de la forme {1+k,50+k,99-2k} avec k`in`{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}. Ce sont les ensembles où le plus grand terme est impair.
Si le plus grand terme est pair on obtient les ensembles de la forme {18+h,34+h,98-2h} avec h `in`{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
Ainsi on a utilisé tous les éléments de S' pour former 33 sous-ensembles de même taille et même somme.
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Bravo !

Message  G. Lorang le Mer 11 Jan - 20:38

Quelle belle question et quelle belle solution ! bounce
20 points cadeau pour toi !
Cordialement G. Lorang
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G. Lorang
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Re: CGMO 2008- Question 1

Message  le_magicien le Jeu 12 Avr - 12:46

Bravo ! Jolie solution. Very Happy

Est-ce que par hasard tu aurais les autres questions du CGMO 2008 ?

le_magicien
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Re: CGMO 2008- Question 1

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