OMB-Maxi Finale 2010
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OMB-Maxi Finale 2010
Question 1
(a) Déterminer tous les nombres naturels multiples de 6 et possédant exactement 6 diviseurs naturels.
(b) Combien y a-t-il de nombres naturels multiples de 2010 et possédant exactement 2010 diviseurs naturels ?
Question 2
(a) Démontrer que si, dans un triangle , l’amplitude de l’angle en `A` est double de celle de l’angle en `B`, alors
`BC^2=AC^2+AC*AB`
(b) La réciproque est-elle vraie ?
Question 3
(a) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel `n` l’expression `n^2+n+14` est-elle le carré d’un nombre naturel ?
(b) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel `k` existe-t-il au moins un naturel `n` pour lequel l’expression `n^2+n+k` est le carré d’un nombre naturel ?
Question 4
Dans le triangle `ABC`, soit `H` le pied de la hauteur issue de `A`. Soit `E` le point d’intersection de la bissectrice issue de `B` avec le côté `[AC]`. Sachant que `/_BEA=45°`, déterminer `/_EHC`.
(a) Déterminer tous les nombres naturels multiples de 6 et possédant exactement 6 diviseurs naturels.
(b) Combien y a-t-il de nombres naturels multiples de 2010 et possédant exactement 2010 diviseurs naturels ?
Question 2
(a) Démontrer que si, dans un triangle , l’amplitude de l’angle en `A` est double de celle de l’angle en `B`, alors
`BC^2=AC^2+AC*AB`
(b) La réciproque est-elle vraie ?
Question 3
(a) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel `n` l’expression `n^2+n+14` est-elle le carré d’un nombre naturel ?
(b) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel `k` existe-t-il au moins un naturel `n` pour lequel l’expression `n^2+n+k` est le carré d’un nombre naturel ?
Question 4
Dans le triangle `ABC`, soit `H` le pied de la hauteur issue de `A`. Soit `E` le point d’intersection de la bissectrice issue de `B` avec le côté `[AC]`. Sachant que `/_BEA=45°`, déterminer `/_EHC`.
Question 1
a) Un entier naturel a exactement 6 diviseurs si et seulement si il s' écrit sous la forme `p^5` ou `p^*q^2` où p et q sont 2 entiers premiers quelconques. Or, comme l'entier naturel est multiple de 6, il ne peut pas être de la forme `p^5`. Comme `6=2*3`, les seuls multiples de 6 ayant exactement 6 diviseurs sont `2^2*3=12` et `2*3^2=36.
carole- Expert
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Re: OMB-Maxi Finale 2010
b) Effectuons d' abord la factorisation première de 2010:
`2010=2*3*5*67`
D' où chaque multiple de 2010 peut s' écrire sous la forme `2^a*3^b*5^c*67^d` (a,b,c,d`>=1`).
Or chaque nombre admettant 2010 diviseurs s' écrit sous la forme `p^1*q^2*r^4*s^66`(p,q,r et s sont des nombres premiers).
Donc tous les multiples de 2010 admettant 2010 diviseurs ont comme bases 2,3,5 et 67 et comme exposants 1,2,4 et 66. Il existe `4!``=4*3*2*1=24` possibilités d' associer les exposants aux bases possibles, donc il existe 24 entiers qui vérifient ces conditions.
`2010=2*3*5*67`
D' où chaque multiple de 2010 peut s' écrire sous la forme `2^a*3^b*5^c*67^d` (a,b,c,d`>=1`).
Or chaque nombre admettant 2010 diviseurs s' écrit sous la forme `p^1*q^2*r^4*s^66`(p,q,r et s sont des nombres premiers).
Donc tous les multiples de 2010 admettant 2010 diviseurs ont comme bases 2,3,5 et 67 et comme exposants 1,2,4 et 66. Il existe `4!``=4*3*2*1=24` possibilités d' associer les exposants aux bases possibles, donc il existe 24 entiers qui vérifient ces conditions.
carole- Expert
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Question 3
a) Le plus grand naturel n pour lequel l' expression `n^2+n+14` (E) peut être un carré est 13, car la différence entre deux carrés consecutifs `a^2` et `(a+1)^2` vaut `2a+1`.
Ici `n+14` est la différence entre les deux carrés `n^2` et `n^2+n+14`, donc `2n+1=n+14 iff n=13`.
Il suffit donc de contrôler si des entiers inférieurs à 13 vérifient cette condition.
n=1: (E)=16=`4^2`
n=1 est la seule autre solution possible, donc 1 et 13 sont solution.
b) Il existe des n pour tout entier k supérieur ou égal à 1.
Pour que `n^2+n+k` soit le carré suivant `n^2`, il faut que k prenne la valeur `n+1`.
Si k=1, alors n=0. 1 est carré de lui-même.
Si k=2, alors n=1. 4 est le carré de 2.
Si k=3, alors n=2. 9 est le carré de 3.
Donc en général, si k est donné, on prend simplement `n=k-1`.
Bien sûr il peut exister plusieurs valeurs pour n qui vérifient les conditions pour un même entier k.
Ici `n+14` est la différence entre les deux carrés `n^2` et `n^2+n+14`, donc `2n+1=n+14 iff n=13`.
Il suffit donc de contrôler si des entiers inférieurs à 13 vérifient cette condition.
n=1: (E)=16=`4^2`
n=1 est la seule autre solution possible, donc 1 et 13 sont solution.
b) Il existe des n pour tout entier k supérieur ou égal à 1.
Pour que `n^2+n+k` soit le carré suivant `n^2`, il faut que k prenne la valeur `n+1`.
Si k=1, alors n=0. 1 est carré de lui-même.
Si k=2, alors n=1. 4 est le carré de 2.
Si k=3, alors n=2. 9 est le carré de 3.
Donc en général, si k est donné, on prend simplement `n=k-1`.
Bien sûr il peut exister plusieurs valeurs pour n qui vérifient les conditions pour un même entier k.
carole- Expert
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Question 1 : BRAVO !
a) J'ai légèrement corrigé ta réponse. Pour être complet, il faut inclure le cas où l'entier est de la forme `p^5`.
b) Tu as bien raisonné, même si quelques unes de tes affirmations ne sont pas à 100% correctes. Je corrige donc un peu ci-dessous, afin que tu puisses comparer :
Effectuons d' abord la factorisation première de 2010 : `2010=2*3*5*67`.
Chaque multiple de 2010 est donc divisible par 2,3,5 et 67.
Or chaque nombre `n` admettant 2010 diviseurs et divisible par 2,3,5 et 67 s' écrit sous la forme `n=2^a*3^b*5^c*67^d`
où `a,b,c,d>=1` et `(a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)=2010`. Il n'est pas possible qu'il y ait d'autres facteurs premiers dans la décomposition de `n` puisque 2010 a exactement 4 diviseurs premiers et ces 4 diviseurs doivent intervenir avec des exposants non nuls dans la décomposition de `n`.
Donc tous les multiples de 2010 admettant 2010 diviseurs ont dans leur décomposition en facteurs premiers comme bases 2,3,5 et 67 et comme exposants 1,2,4 et 66. Il existe `4! =4*3*2*1=24` possibilités d'associer les exposants aux bases possibles, donc il existe 24 entiers qui vérifient ces conditions.
20 points pour cette question finale pour toi
Cordialement, G. Lorang
b) Tu as bien raisonné, même si quelques unes de tes affirmations ne sont pas à 100% correctes. Je corrige donc un peu ci-dessous, afin que tu puisses comparer :
Effectuons d' abord la factorisation première de 2010 : `2010=2*3*5*67`.
Chaque multiple de 2010 est donc divisible par 2,3,5 et 67.
Or chaque nombre `n` admettant 2010 diviseurs et divisible par 2,3,5 et 67 s' écrit sous la forme `n=2^a*3^b*5^c*67^d`
où `a,b,c,d>=1` et `(a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)=2010`. Il n'est pas possible qu'il y ait d'autres facteurs premiers dans la décomposition de `n` puisque 2010 a exactement 4 diviseurs premiers et ces 4 diviseurs doivent intervenir avec des exposants non nuls dans la décomposition de `n`.
Donc tous les multiples de 2010 admettant 2010 diviseurs ont dans leur décomposition en facteurs premiers comme bases 2,3,5 et 67 et comme exposants 1,2,4 et 66. Il existe `4! =4*3*2*1=24` possibilités d'associer les exposants aux bases possibles, donc il existe 24 entiers qui vérifient ces conditions.
20 points pour cette question finale pour toi
Cordialement, G. Lorang
Question 3 : BRAVO !
Très bien ! 20 points cadeau ! Juste une critique : tu n'expliques pas pourquoi en fait `n<=13`.
On pourrait le faire comme ceci par exemple :
`n^2+n+14=(n+a)^2`
`iff n+14=2an+a^2`
`iff n+14=a(2n+a)`
Or, `a>=1`, donc `2n+a<=n+14 iff n<=14-a`.
On a donc nécessairement : `n<=13`.
Pour trouver toutes les solutions, on peut écrire :
`n^2+n+14=(n+a)^2`
`iff 4n^2+4n+56=4(n+a)^2`
`iff 4n^2+4n+1+55=4(n+a)^2`
`iff (2n+1)^2+55=4(n+a)^2`
`iff 4(n+a)^2-(2n+1)^2=55`
`iff (2n+2a)^2-(2n+1)^2=55`
`iff (2a-1)(4n+2a+1)=55`
Donc : `2a-1=1 iff a=1` donne : `n=13`
`2a-1=5 iff a=3` donne : `n=1`
`2a-1=11 iff a=6` et `2a-1=55 iff a=28` donnent des valeurs négatives pour n.
D'où les deux solutions que tu as trouvées.
On pourrait le faire comme ceci par exemple :
`n^2+n+14=(n+a)^2`
`iff n+14=2an+a^2`
`iff n+14=a(2n+a)`
Or, `a>=1`, donc `2n+a<=n+14 iff n<=14-a`.
On a donc nécessairement : `n<=13`.
Pour trouver toutes les solutions, on peut écrire :
`n^2+n+14=(n+a)^2`
`iff 4n^2+4n+56=4(n+a)^2`
`iff 4n^2+4n+1+55=4(n+a)^2`
`iff (2n+1)^2+55=4(n+a)^2`
`iff 4(n+a)^2-(2n+1)^2=55`
`iff (2n+2a)^2-(2n+1)^2=55`
`iff (2a-1)(4n+2a+1)=55`
Donc : `2a-1=1 iff a=1` donne : `n=13`
`2a-1=5 iff a=3` donne : `n=1`
`2a-1=11 iff a=6` et `2a-1=55 iff a=28` donnent des valeurs négatives pour n.
D'où les deux solutions que tu as trouvées.
Dernière édition par G. Lorang le Ven 13 Avr - 8:57, édité 1 fois
Question 4
J' ai ajouté le point F tel que F est le point d' intersection de la perpendiculaire à AC passant par E et la droite BC.
`hat(BEF)=90°-hat(AEF)=45°
Comme BE est un axe de symétrie (bissectrice) et `hat(BEF)=hat(AEF)`, on a que `bar (AE)=bar(AF)` .
On cherche l' angle `hat(EHC)=hat(EHF)=hat(EHA)`,car `bar (AE)=bar(AF)` et les points A, E, F et H sont cocycliques (les angles en E et H sont des angles droits).
Or, `hat(EHF)+hat(EHA)=90°
`iff 2 hat(EHC)=90°
`iff hat(EHC)=45°
carole- Expert
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Question 2
D' après l' énoncé:
L' angle en A vaut `2alpha`
L' angle en B vaut `alpha`
L' angle en C vaut `180°-3alpha`
Appliquons le théorème des cosinus au triangle ABC:
`bar(BC)^2=bar(AB)^2+bar(AC)^2-2*bar(AB)*bar(AC)*cos(2*alpha)
`iff bar(BC)^2=bar(AC)^2+bar(AB)*(bar(AB)-2*bar(AC)*(1-2*sin(alpha)^2))
Or, on veut monter que `bar(BC)^2=bar(AC)^2+bar(AB)*bar(AC)`, il faut donc que
`bar(AB)-2*bar(AC)*(1-2*sin(alpha)^2)=bar(AC)
`iff bar(AB)=bar(AC)*(3-4sin(alpha)^2)
`iff bar(AB)/bar(AC)= 3-4sin(alpha)^2 ` (1)
Appliquons maintenant le théorème des sinus au triangle ABC:
`sin(alpha)/bar(AC)=sin(180°-3*alpha)/bar(AB)
`iff bar(AB)/bar(AC)=sin(3alpha)/sin(alpha)` (2)
(1) et (2):
`3-4sin(alpha)^2 =sin(3alpha)/sin(alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=sin(3alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=sin(2alpha+alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=sin(2alpha)cos(alpha)+cos(2alpha)*sin(alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=2sin(alpha)cos(alpha)^2+(1-sin(alpha)^2)*sin(alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=2sin(alpha)(1-sin(alpha)^2)+sin(alpha)-sin(alpha)^3
`iff 2*sin(alpha)-3*sin(alpha)^3=2*sin(alpha)-3*sin(alpha)^3
(J' ai développé le tout, or on peut voir dès la deuxième ligne que la condition est vérifiée, si on connait bien ses formules trigonométriques)
Comme on a montré que (1)=(2), on peut affirmer que `bar(AB)-2*bar(AC)*(1-2*sin(alpha)^2)=bar(AC)` et donc `bar(BC)^2=bar(AC)^2+bar(AB)*bar(AC)`.
Voilà, les réponses aux 4 questions...
L' angle en A vaut `2alpha`
L' angle en B vaut `alpha`
L' angle en C vaut `180°-3alpha`
Appliquons le théorème des cosinus au triangle ABC:
`bar(BC)^2=bar(AB)^2+bar(AC)^2-2*bar(AB)*bar(AC)*cos(2*alpha)
`iff bar(BC)^2=bar(AC)^2+bar(AB)*(bar(AB)-2*bar(AC)*(1-2*sin(alpha)^2))
Or, on veut monter que `bar(BC)^2=bar(AC)^2+bar(AB)*bar(AC)`, il faut donc que
`bar(AB)-2*bar(AC)*(1-2*sin(alpha)^2)=bar(AC)
`iff bar(AB)=bar(AC)*(3-4sin(alpha)^2)
`iff bar(AB)/bar(AC)= 3-4sin(alpha)^2 ` (1)
Appliquons maintenant le théorème des sinus au triangle ABC:
`sin(alpha)/bar(AC)=sin(180°-3*alpha)/bar(AB)
`iff bar(AB)/bar(AC)=sin(3alpha)/sin(alpha)` (2)
(1) et (2):
`3-4sin(alpha)^2 =sin(3alpha)/sin(alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=sin(3alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=sin(2alpha+alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=sin(2alpha)cos(alpha)+cos(2alpha)*sin(alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=2sin(alpha)cos(alpha)^2+(1-sin(alpha)^2)*sin(alpha)
`iff 3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3=2sin(alpha)(1-sin(alpha)^2)+sin(alpha)-sin(alpha)^3
`iff 2*sin(alpha)-3*sin(alpha)^3=2*sin(alpha)-3*sin(alpha)^3
(J' ai développé le tout, or on peut voir dès la deuxième ligne que la condition est vérifiée, si on connait bien ses formules trigonométriques)
Comme on a montré que (1)=(2), on peut affirmer que `bar(AB)-2*bar(AC)*(1-2*sin(alpha)^2)=bar(AC)` et donc `bar(BC)^2=bar(AC)^2+bar(AB)*bar(AC)`.
Voilà, les réponses aux 4 questions...
carole- Expert
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Age : 31
Re: OMB-Maxi Finale 2010
Bonjour,
C'est très bien, Carole.
Cependant, tu n'as pas vraiment répondu à la question 2b). En effet, pour établir cette réciproque, on peut poser que les angles en `A`, en `B` et en `C` valent respectivement `\beta`, `\alpha` et `180°-\alpha-\beta`, mais on ne sait pas a priori que `\pi-\alpha-\beta=\pi-2\alpha`.
Voici comment je propose de procéder. Partant de l'hypothèse `|BC|^2=|AC|^2+|AB|\cdot|AC|` et de la formule de Pythagore généralisé `|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\cos(\beta)`, on peut déduire que `|AC|=|AB|-2\cdot|AC|\cdot\cos(\beta)` et donc que `1+2\cos(\beta)=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{\sin(180°-\alpha-\beta)}{\sin(\alpha)}` notamment grâce à la relation des sinus dans le triangle `ABC`. Mais ceci implique que `1+2\cos(\beta)=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}`, donc que `\sin(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\beta)=\sin(alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)` et donc que `\sin(\alpha)=\sin(\beta-\alpha)`. Cette dernière égalité implique l'existence d'un nombre entier `k` vérifiant l'égalité `\beta=2\alpha+k\cdot 360°` ou l'égalité `\beta=180°+k\cdot 360°`, ce qui n'est possible que si `\beta=2\alpha` vu que `0°<\alpha<180°` et `0<\beta<180°`.
C'est très bien, Carole.
Cependant, tu n'as pas vraiment répondu à la question 2b). En effet, pour établir cette réciproque, on peut poser que les angles en `A`, en `B` et en `C` valent respectivement `\beta`, `\alpha` et `180°-\alpha-\beta`, mais on ne sait pas a priori que `\pi-\alpha-\beta=\pi-2\alpha`.
Voici comment je propose de procéder. Partant de l'hypothèse `|BC|^2=|AC|^2+|AB|\cdot|AC|` et de la formule de Pythagore généralisé `|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\cos(\beta)`, on peut déduire que `|AC|=|AB|-2\cdot|AC|\cdot\cos(\beta)` et donc que `1+2\cos(\beta)=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{\sin(180°-\alpha-\beta)}{\sin(\alpha)}` notamment grâce à la relation des sinus dans le triangle `ABC`. Mais ceci implique que `1+2\cos(\beta)=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}`, donc que `\sin(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\beta)=\sin(alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)` et donc que `\sin(\alpha)=\sin(\beta-\alpha)`. Cette dernière égalité implique l'existence d'un nombre entier `k` vérifiant l'égalité `\beta=2\alpha+k\cdot 360°` ou l'égalité `\beta=180°+k\cdot 360°`, ce qui n'est possible que si `\beta=2\alpha` vu que `0°<\alpha<180°` et `0<\beta<180°`.
le_magicien- Pro
- Messages : 56
Date d'inscription : 11/04/2012
RE : Question4
carole a écrit:
Comme BE est un axe de symétrie (bissectrice) et `hat(BEF)=hat(AEF)`, on a que `bar (AE)=bar(AF)` .
On cherche l' angle `hat(EHC)=hat(EHF)=hat(EHA)`,car `bar (AE)=bar(AF)` et les points A, E, F et H sont cocycliques (les angles en E et H sont des angles droits).
Je pense que tu veux dire `hat(BEF)=hat(AEB)`, donc `bar (AE)=bar(EF)` et `hat(EHC)=hat(EHF)=hat(EAF)` ???
Est-ce que tu peux revoir attentivement ta solution ?
Cordialement G. Lorang
RE : Question 2
Bravo à Carole et à notre nouveau posteur le_magicien !
Je partage les 20 points cadeau entre vous ...
Cordialement G. Lorang
Je partage les 20 points cadeau entre vous ...
Cordialement G. Lorang
Re: OMB-Maxi Finale 2010
G. Lorang a écrit:carole a écrit:
Comme BE est un axe de symétrie (bissectrice) et `hat(BEF)=hat(AEF)`, on a que `bar (AE)=bar(AF)` .
On cherche l' angle `hat(EHC)=hat(EHF)=hat(EHA)`,car `bar (AE)=bar(AF)` et les points A, E, F et H sont cocycliques (les angles en E et H sont des angles droits).
Je pense que tu veux dire `hat(BEF)=hat(AEB)`, donc `bar (AE)=bar(EF)` et `hat(EHC)=hat(EHF)=hat(EAF)` ???
Est-ce que tu peux revoir attentivement ta solution ?
Cordialement G. Lorang
C' est bien sûr `hat(BEF)=hat(AEB)` et `bar (AE)=bar(EF)`.
Les angles `hat(EAF)` et `hat(EHF)` interceptent des arcs de même longueur d'un même cercle.
Est-ce qu' alors les angles ne sont-ils pas égaux (s' ils se trouvent du même côté des arcs)?
Alors, mon raisonnement fonctionnerait...
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Re: OMB-Maxi Finale 2010
carole a écrit:
Les angles `hat(EAF)` et `hat(EHF)` interceptent des arcs de même longueur d'un même cercle.
Est-ce qu' alors les angles ne sont-ils pas égaux (s' ils se trouvent du même côté des arcs)?
Tu as absolument raison. Mais je ne comprenais pas pourquoi tu es passée par l'angle `hat(EHA)`. J'avais un autre raisonnement en tête :
Une fois que tu sais que le triangle `AEF` est rectangle isocèle, tu as tout de suite :
`hat(EHC)=hat(EHF)=hat(EAF)=45°`
Pourrais-tu encore apporter les petites modifications à ta solution initiale ? Je t'accorde déjà les 20 points cadeau
Cordialement G. Lorang
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