`n^3-n` est toujours divisible par 3

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`n^3-n` est toujours divisible par 3

Message  G. Lorang le Jeu 13 Oct - 9:49

a) Montrer que `n^3-n` est toujours divisible par 3, quel que soit l'entier naturel `n`.
b) Montrer que `n^5-n` est toujours divisible par 5, quel que soit l'entier naturel `n`.
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Message  Alain le Mar 6 Déc - 19:06

a) `n^3-n=n(n^2-1)`
`=n(n-1)(n+1)`

Un produit de 3 nombres consécutifs est toujours un multiple de 3, donc `n^3-n` est toujours divisible par 3.

b) `n^5-n=n(n^4-1)`
`=n(n^2-1)(n^2+1)`
`=n(n-1)(n+1)(n^2+1)`

Si `n` s'écrit sous la forme `5x`, `5x+1` ou `5x+4`, `n^5-n` est divisible par 5 à cause du produit de 3 nombres consécutifs `n(n-1)(n+1)`. Il faut donc que `n^2+1` est un multiple de 5 avec `n` qui peut s'écrire `5x+2` ou `5x+3`.
Comme `(5x+2)^2+1=5x^2+20x+4+1`
`=5(x^2+4x+1)`
et `(5x+3)^2+1=5x^2+30x+9+1`
`=5(x^2+6x+2)`,
on a démontré que `n^5-n` est toujours divisible par 5, quel que soit l'entier naturel `n`.
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Bravo !

Message  G. Lorang le Jeu 5 Jan - 9:32

J'aurais raisonné avec `5x-2`, `5x-1`, `5x`, `5x+1` et `5x+2`, mais cela revient au même bien sûr !
20 points cadeau pour toi !!! bounce

Arrives-tu à démontrer aussi que `n^7-n` est toujours divisible par 7 ??

(C'est le petit théorème de Fermat qui affirme que `n^p-n` est toujours divisible par `p`, si `p`est un nombre premier !)
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