Existe-il des entiers a et b strictement positifs tels que ... ?

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Existe-il des entiers a et b strictement positifs tels que ... ?

Message  G. Lorang le Jeu 13 Oct - 9:15

Existe-il des entiers a et b strictement positifs tels que `a^2+2b` et `b^2+2a` soient tous les deux des carrés ?
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Message  Alain le Mer 25 Jan - 16:13

Soit la racine carrée de `a^2+2b` égal à `x` et la racine carrée de `b^2+2a` égal à `y`. Donc:
`(x-y)(x+y)=a^2+2b-(b^2+2a)`
`= a^2+2b-b^2-2a`
`=2(b-a)+(a^2-b^2)`
`=2(b-a)+(a-b)(a+b)`
`=2(b-a)-(b-a)(a+b)=(b-a)(2-a-b)`
et
`(y-x)(y+x)=b^2+2a-(a^2+2b)`
`=b^2+2a-a^2-2b`
`=2(a-b)+(b^2-a^2)`
`=2(a-b)+(b-a)(b+a)`
`=2(a-b)-(a-b)(b+a)=(a-b)(2-b-a)`
Ainsi:
`((x-y)(x+y))/((y-x)(y+x))=((b-a)(2-a-b))/((a-b)(2-b-a))=(b-a)/(a-b)`
`iff (x-y)/(y-x)=(b-a)/(a-b)`
On en conclut que `x` doit être égal à `b` et `y` égal à `a`.
Si et seulement si
`a^2+2b=b^2 iff a^2+2b-b^2=0`
et `b^2+2a=a^2` iff b^2+2a-a^2=0.
En additionant les deux inéquations, on obtient
`a^2+2b-b^2+b^2+2a-a^2=0 iff 2b+2a=0`
ce qui est impossible car `a` et `b` sont des entiers strictement positifs.
Alors il n'existe pas des entiers a et b strictement positifs tels que `a^2+2b` et `b^2+2a` soient tous les deux des carrés.
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Re: Existe-il des entiers a et b strictement positifs tels que ... ?

Message  G. Lorang le Sam 4 Fév - 8:13

Alain a écrit:
`((x-y)(x+y))/((y-x)(y+x))=((b-a)(2-a-b))/((a-b)(2-b-a))=(b-a)/(a-b)`
`iff (x-y)/(y-x)=(b-a)/(a-b)`
On en conclut que `x` doit être égal à `b` et `y` égal à `a`.

Je ne suis pas d'accord avec ta dernière assertion !
Les deux membres de ton égalité sont égaux à -1 on ne peut rien en déduire !
Je te laisse réfléchir encore un peut avant de poster la réponse ... Smile
Cordialement, G. Lorang
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Message  le_magicien le Sam 14 Avr - 14:19

Bonjour Alain,

Quel est (en fonction du nombre entier strictement positif `a`) le plus petit nombre entier strictement positif qu'il faut ajouter à `a^2` pour que le résultat soit encore un carré ?

Que peut-on en déduire en ce qui concerne la taille de `b` par rapport à `a` si `a^2+2b` est un carré ?

Que se passe-t-il si on fait le même raisonnement en inversant `a` et `b` ?

Conclusion si on tient compte des deux raisonnements à la fois ? Very Happy

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