Triangle équilatéral et théorème de Ptolémée

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Triangle équilatéral et théorème de Ptolémée

Message  G. Lorang le Jeu 6 Oct - 6:05

Sur le cercle circonscrit d'un triangle équilatéral `ABC`, on construit le point `P` diamétralement opposé à `A`.
Montrer que $ PA\times PB\times PC =2R^{3} $, où `R` est le rayon du cercle circonscrit.
(Aide : utiliser le théorème de Ptolémée.)


Dernière édition par G. Lorang le Lun 17 Oct - 19:26, édité 1 fois
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Message  Alain le Lun 17 Oct - 16:36

D'après le théorème de Ptolémée dans le triangle équilatéral `ABC` où le point `P` est placé diamétralement opposé de `A`, on a: `PA=PB+PC=2PB=2PC`
Comme `PA=2R`:
`2R=2PB=2PC`
`iff R=PB=PC`
Ainsi:
`PA*PB*PC=2R*R*R=2R^3` cqfd.
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Correct, mais ...

Message  G. Lorang le Lun 17 Oct - 19:25

... tu sautes une étape ! Tu dois faire un développement complet pour que tes lecteurs (=le monde entier) puisse suivre facilement tes raisonnements Smile
Pourrais-tu ajouter les lignes qui manquent ?
Cordialement G. Lorang
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Message  Alain le Mar 18 Oct - 18:09

D'après le théorème de Ptolémée dans le triangle équilatéral `ABC` où `P` est placé diamétralement opposé de `A`, on a: `PA=PB+PC` (1), car `P` appartient au cercle circonscrit de `ABC`.
Comme `P` est opposé diamétralement de `A`: `PB=PC` (2)
En plaçant (2) dans (1), on obtient: `PA=2PB` et `PA=2PC`
`PA` est le diamètre du cercle circonscrit de `ABC`, alors `PA=2R`, ainsi: `2R=2PB=2PC iff R=PB=PC`
Finalement: `PA∙PB∙PC=2R∙R∙R=2R^3` cqfd.
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Application du théorème de Ptolémée

Message  G. Lorang le Jeu 20 Oct - 9:13

Bon ok, voici les lignes auxquelles j'avais pensé :
Notons `l` la longueur des 3 côtés du triangle équilatéral `ABC`.
J'applique le théorème de Ptolémée :
`PA*BC=PC*AB+PB*AC`
`iff PA*l=PC*l+PB*l`
`iff PA=PB+PC` en divisant l'égalité par `l`
Il fallait expliquer cette égalité mystérieuse non ? Smile
Cordialement, G. Lorang

Comme tu as correctement résolu le problème je t'accorde 10 points cadeau !
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