Pentagone régulier

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Pentagone régulier

Message  G. Lorang le Ven 23 Sep - 7:10

Sur le petit arc `AB` du cercle circonscrit à un pentagone régulier `ABCDE` on place un point `P`.
Montrer que : $ PA+PB+PD=PC+PE $

Aide : On pourra utiliser le théorème de Ptolémée.
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Re: Pentagone régulier

Message  carole le Sam 24 Sep - 18:54



Posons:
côté du pentagon: `x
diagonale du pentagon: `y

D' après le théorème de Ptolémée, on a:
-Dans APBC:
`PC*AB=PA*BC+PB*AC
`iff PC*x=PA*x+PB*y` (I)
-Dans APBD:
`PD*AB=PA*BD+PB*AD
`iff PD*x=PA*y+PB*y` (II)
-Dans APBE:
`PE*AB=PA*BE+PB*AE
`iff PE*x=PA*y+PB*x` (III)

(I)+(III):
`PC*x+PE*x=PA*x+PB*x+PA*y+PB*y
`iff PC*x+PE*y=PA*x+PB*y+PD*x` (d' après (II) )
`iff PC+PE=PA+PB+PD
c.q.f.d.
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Parfait !

Message  G. Lorang le Sam 24 Sep - 22:26

Je n'ai rien à ajouter !
20 points cadeau !
Cordialement G. Lorang
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