Somme de deux racines cubiques

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Somme de deux racines cubiques

Message  G. Lorang le Jeu 22 Sep - 7:01

Sans calculatrice, montrer que :
$ (55+12\sqrt{21})^{\frac{1}{3}}+(55-12\sqrt{21})^{\frac{1}{3}}=5 $
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Re: Somme de deux racines cubiques

Message  carole le Jeu 22 Sep - 19:43

Posons:
`(55+12sqrt(12))^(1/3)+ (55-12sqrt(12))^(1/3)=x

Élevons au cube:
`((55+12sqrt(12))^(1/3) + (55-12sqrt(12))^(1/3))^3=x^3
`iff 55+12sqrt(12)+ 3(55+12sqrt(12))^(2/3)(55-12sqrt(12))^(1/3) + 3(55+12sqrt(12))^(1/3)(55-12sqrt(12))^(2/3) + 55-12sqrt(12)=x^3
Or `(55+12sqrt(21))(55-12sqrt(21))=55^2-12^2*21=1
donc:
`55+12sqrt(12)+ 3(55+12sqrt(12))^(1/3) + 3(55-12sqrt(12))^(1/3) + 55-12sqrt(12)=x^3
`iff 110 +3x=x^3
`iff -x^3+3x+110=0 ` (E)

Posons `P(x)=-x^3+3x+110
Cherchons des racines parmi 1,2,5 et 11 (`2*5*11=110`):
`P(1)=112
`P(2)=108
`P(5)=0

Donc `x=5` est une solution!
En vérifiant par Horner on obtient
`P(x)=-x^3+3x+110=-(x-5)(x^2+5x+22)

Dans (E):
`-(x-5)(x^2+5x+22)=0
`iff x=5
5 est la seule solution réelle car on ne peut factoriser davantage.
Comme on a posé `x=(55+12sqrt(12))^(1/3)+ (55-12sqrt(12))^(1/3)`, on a bien montré que `(55+12sqrt(12))^(1/3)+ (55-12sqrt(12))^(1/3)=5`.
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Bravo !

Message  G. Lorang le Jeu 22 Sep - 20:32

Belle solution ! 20 points cadeau !!!
On peut montrer aussi que :
$ (55+12\sqrt{21})^{\frac{1}{3}}=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2} $
et
$ (55-12\sqrt{21})^{\frac{1}{3}}=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2} $
Tu pourrais le montrer pendant un petit moment de détente ... Smile
Cordialement, G. Lorang

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Re: Somme de deux racines cubiques

Message  carole le Sam 24 Sep - 7:45

`(55+12sqrt(21))^(1/3)=5/2+sqrt(21)/2
`iff 55+12sqrt(21)=(5/2+sqrt(21)/2)^3
`iff (5/2+sqrt(21)/2)^3=55+12sqrt(21)
`iff (5/2)^3+3(5/2)^2*sqrt(21)/2+3*5/2*(sqrt(21)/2)^2+(sqrt(21)/2)^3=55+12sqrt(21)
`iff 125/8+75sqrt(21)/8+315/8+21sqrt(21)/8=55+12sqrt(21)
`iff 440/8+96sqrt(21)/8=55+12sqrt(21)
`iff 55+12sqrt(21)=55+12sqrt(21)
On a bien montré que `(55+12sqrt(21))^(1/3)=5/2+sqrt(21)/2`.

`(55-12sqrt(21))^(1/3)=5/2-sqrt(21)/2
`iff 55-12sqrt(21)=(5/2-sqrt(21)/2)^3
`iff (5/2-sqrt(21)/2)^3=55-12sqrt(21)
`iff (5/2)^3-3(5/2)^2*sqrt(21)/2+3*5/2*(sqrt(21)/2)^2-(sqrt(21)/2)^3=55-12sqrt(21)
`iff 125/8-75sqrt(21)/8+315/8-21sqrt(21)/8=55-12sqrt(21)
`iff 440/8-96sqrt(21)/8=55-12sqrt(21)
`iff 55-12sqrt(21)=55-12sqrt(21)
De même on a montré que `(55-12sqrt(21))^(1/3)=5/2-sqrt(21)/2`

Voilà!
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Ok !

Message  G. Lorang le Sam 24 Sep - 8:09

Bien ! On peut donc clore ce sujet !
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