IMO 1989 Longlisted problem HKG 2

Soit `n` un entier naturel. Montrer que `(sqrt(2)+1)^n=sqrt(m)+sqrt(m-1)`, pour un certain entier naturel `m`.

... c'est un problème accessible !
Bonne chance !
G. Lorang

D' abord il peut être utile de noter que `(1+sqrt(2))^n=x+ysqrt(2)` avec `x,y in NN`.

Effectuons d' abord `(1+sqrt(2))^n` pour n=0,1,2,3,4,5,...:
0) `(1+sqrt(2))^0=1
1) `(1+sqrt(2))^1= 1+sqrt(2)
2) `(1+sqrt(2))^2=3+2sqrt(2)
3) `(1+sqrt(2))^3=7+5sqrt(2)
4) `(1+sqrt(2))^4=17+12sqrt(2)
5) `(1+sqrt(2))^5=41+29sqrt(2)
...
On remarque que `y_n=x_(n-1)+y_(n-1)` et `x_n=x_(n-1)+2y_(n-1)=y_n+y_(n-1)` ou bien `y_n=x_(n-1)+x_(n-2)+...`

Si m est pair, il faut que:
- `m=2y_n^2
- `m-1=x_n^2
donc `2y_n^2-1=x_n^2
`iff 2y_n^2-1=(y_n+y_(n-1))^2
`iff 2y_n^2-1=y_n^2+2y_ny_(n-1)+y_(n-1)^2
`iff y_n^2=2y_ny_(n-1)+y_(n-1)^2+1
`iff y_n(y_n-y_(n-1))=y_(n-1)(y_(n-1)+y_n)+1
`iff y_nx_(n-1)=y_(n-1)x_n+1

On peut trouver une formule semblable pour m impair en faisant de même:
`y_nx_(n-1)=y_(n-1)x_n-1

En général:
`|y_nx_(n-1)-y_(n-1)x_n|=1

Or cette condition est vérifiée par `(sqrt(2)+1)^n` pour tout n, ce qui reste à démontrer.
Voici pour mes idées à part d' une formule pour calculer `y_n` et `x_n` à l' aide de matrices, ce qui me semble plutôt inutile.

Considère les nombres `a=(sqrt(2)+1)^n` et `b=(sqrt(2)-1)^n`
L'idée est de calculer `a*b` et `a+b` ...
Bonne continuation !
Cordialement, G. Lorang

Bonjour,

Remarquons d'abord que, pour tout entier naturel `n`, si il existe deux nombres entiers positifs `a` et `b` tels que `(\sqrt{2}+1)^n=a+b\sqrt{2}` et `a^2-2b^2\pm 1`, alors il existe aussi deux nombres entiers positifs `c` et `d` tels que `(\sqrt{2}+1)^{n+2}=c+d\sqrt{2}` et `c^2-2d^2=\pm 1`. En effet, il vient : `(\sqrt{2}+1)^{n+2}=(sqrt{2}+1)^2(sqrt{2}+1)^{n}=(3+2sqrt{2})(a+b\sqrt{2})=3a+4b+(3b+2a)\sqrt{2}` et `(3a+4b)^2-2(3b+2a)^2=9a^2+24ab+16b^2-18b^2-24ab-8a^2=a^2-2b^2=\pm 1`. Comme de plus de tels nombres `a` et `b` existent pour `n=0` (`a=1` et `b=0`) et pour `n=1` (`a=1` et `b=1`), on conclut qu'ils existent pour tout entier naturel `n`. Cela étant, le nombre `m=a^2` convient si `n` est pair et le nombre `m=2b^2` convient si `n` est impair.