Que vaut `x^5+1/x^5` ?

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Que vaut `x^5+1/x^5` ?

Message  G. Lorang le Ven 17 Juin - 8:47

Sachant que `x` est un réel positif tel que `x^2+1/x^2=14`, que vaut `x^5+1/x^5` ?
(Indication : on peut le faire sans calculer `x` ...)
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G. Lorang
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724

Message  carole le Ven 17 Juin - 19:46

D' abord on élève `x^5+1/x^5` au carré:
`(x^5+1/x^5)^2=x^10+1/x^10+2
(Il est plus facile de calculer `x^10+1/x^10`)
On effectue différentes étapes pour obtenir `x^10+1/x^10`:

*)`(x^2+1/x^2)^2=14^2
`iff x^4+1/x^4+2=196
`iff x^4+1/x^4=194`

*)`(x^4+1/x^4)*(x^2+1/x^2)=194*14
`iff x^6+1/x^6+x^2+1/x^2=2716
`iff x^6+1/x^6=2702

*)`(x^4+1/x^4)*(x^6+1/x^6)=194*2702
`iff (x^10+1/x^10+x^2+1/x^2=524188
`iff x^10+1/x^10=524174

Calculons maintenant `x^5+1/x^5`:
`x^10+1/x^10=524174
`iff x^10+1/x^10+2=524176
`iff (x^5+1/x^5)^2=524176
`iff (x^5+1/x^5)^2=2^4*181^2
`iff x^5+1/x^5=2^2*181
`iff x^5+1/x^5=724

Donc `x^5+1/x^5` vaut bien 724!
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Message  G. Lorang le Ven 17 Juin - 23:37

Super ! J'ai rien à ajouter !
20 points cadeau !
Cordialement, G. Lorang
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