Entiers positifs recherchés !

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Entiers positifs recherchés !

Message  G. Lorang le Jeu 16 Juin - 16:14

Déterminer tous les couples `(x,y)` d'entiers strictement positifs tels que :
`1/x-1/y=1/97`.
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Re: Entiers positifs recherchés !

Message  carole le Jeu 16 Juin - 21:17

`x,y in NN\\{0}
`1/x-1/y=1/97
`iff (y-x)/(xy)=n/(97n)` (`n in NN`)
Il faut donc que le produit `xy` soit un multiple de 97 (nombre premier) et donc soit x soit y doit être un multiple de 97.

Posons `y=k*97` (`k in NN`):
`(97k-x)/(97kx)=n/(97n)
`iff 97k-x=kx
`iff x(k+1)=97k
`iff x=96 and k=96` (seules solutions entières positives, car k+1 doit être un multiple de 97 et pour tous les autres k, 97k et k+1 sont premiers entre eux)
Donc une solution est bien `(96;96*97)=(96;9312)`.

Posons maintenant `x=h*97` (`h in NN`):
`(y-97h)/(97hy)=n/(97n)
`iff y-97h=hy
`iff y(1-h)=97h
`iff h=0` et `y=0` (pour `h=1` il n' existe pas de solution et pour tout h supérieur à 1 y deviendrait négatif)
Si `h=0` alors `x=0`
Or il faut rejeter cette solution car on ne doit pas diviser par 0.

Donc l' unique solution est bien `S={(96;9312)}`!
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Ven 17 Juin - 8:23

20 points cadeau ! Smile
En fait tu aurais pu laisser de côté le n tout simplement. Tu n'en as pas eu besoin.

carole a écrit:
`x(k+1)=97k`
`iff x=96 and k=96` (seules solutions entières positives, car k+1 doit être un multiple de 97 et pour tous les autres k, 97k et k+1 sont premiers entre eux)

Te toute façon, k et k+1 sont toujours premiers entre eux ...
Pour démontrer ton assertion ci-dessus proprement, on aurait pu écrire :
`x(k+1)=97k => 97 | x` ou `97|k+1`
1er cas : `97 | x`. Alors `x=97*h`, donc `h(k+1)=k`. Or `k` et `k+1` sont premiers entre eux, donc `h=0` et `k=0`. Ceci donne `x=0`, impossible.
2e cas : `97|k+1`. Alors `k+1=97h iff k=97h-1`. Donc : `97hx=97(97h-1) iff hx=97h-1 iff (97-x)h=1 iff x=96` et `h=1`. Ceci donne : `x=96=k`.

Pour résoudre le problème on aurait pu utiliser la multiplication en croix tout de suite :
`1/x-1/y=1/97
`iff (y-x)/(xy)=1/(97)`
`iff 97y-97x=xy`
`iff 97y-xy-97x=0` (Maintenant on utilise un truc de factorisation à retenir !)
`iff 97y-xy-97x+97^2=97^2`
`iff (97-x)y-97(x-97)=97^2`
`iff (97-x)(y+97)=97^2`

A partir de là, on se convainc aisément que `97-x=1` et `y+97=97^2` c-à-d : `x=96` et `y=97*96=9312`

Cordialement, G. Lorang






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