OMB-Maxi Finale 2011

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OMB-Maxi Finale 2011

Message  carole le Dim 15 Mai - 12:08

Problème 1
a) Déterminer toutes les fonctions `f :RR->RR` telles que, pour tous réels x et y,
`f (x + y) = 2011^y * f (x) + 2012^x * f ( y)`.
b) Déterminer toutes les fonctions `f :RR->RR` telles que, pour tous réels x, y et z,
`f (x + y + z ) = 2010^y * f (x) + 2011^z * f ( y) + 2012^x * f (z )` .

Problème 2
Soit ABCD un rectangle. Les points K, L, M et N sont respectivement choisis sur les côtés
`]AB[`, `]BC[`, `]CD[` et `]DA[`. Le point d'intersection des droites `(KM )` et `(LN)` est noté P.
a) `(KM ) _|_(LN)` et `PI_|_(BD)` entraînent-ils que `(KL)//// (MN)` ?
b) `(PI)_|_(BD)` et `(KL)//// (MN)` entraînent-ils que `(KM ) _|_ (LN)` ?
c) `(KL)//// (MN)` et `(KM ) _|_ (LN)` entraînent-ils que `PI_|_(BD)` ?

Problème 3
Onze concurrents (Alexandre, Bérénice, … , Knud) participent à un tournoi où ils s'affrontent
par joutes à cinq, de manière que, à la fin du tournoi, chacun ait affronté exactement deux fois
chacun des dix adversaires.
a) A combien de joutes participe un concurrent ?
b) De combien de joutes est constitué ce tournoi ?
c) Peut-il se faire que trois concurrents se soient trouvés ensemble dans plusieurs joutes ?
d) Indiquer une organisation pour les joutes d'un tel tournoi.

Problème 4
a) Il existe trois entiers distincts a, b et c tels que `a + x` , `b + x` et `c + x` soient trois termes
consécutifs d’une suite géométrique ; cela entraîne-t-il que le nombre x est rationnel ?
b) Si le nombre x est rationnel, existe-t-il trois entiers distincts a, b et c tels que `a + x` , `b + x`
et `c + x` soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique ?



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Question 3 a) et b)

Message  carole le Dim 15 Mai - 12:46

a) Un joueur doit jouer 20 parties (2 fois contre 10 adversaires).
Une joute comprend `4+3+2+1=10` parties (p.ex. la joute ABCDE comprend 4
parties où A joue plus les parties de la joute BCDE qui comprend 3
parties où B joue plus les parties de la joute CDE qui comprend 3
parties: C-D,C-E et D-E). Ainsi chaque joueur joue 4 parties dans une
joute et donc 5 joutes en tout (4 parties dans 5 joutes donnent 20
parties en tout).

b) Un tournoi comprend 11 joutes. En tout `11*20/2=110` (il faut diviser
par 2 parce que 2 joueurs jouent une partie) parties sont jouées.
Comme une joute comprend 10 parties, il faut 11 joutes pour le tournoi!
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Problème 4

Message  carole le Lun 16 Mai - 18:53

a) `a+x`, `b+x` et `c+x` sont trois termes d' une suite géométrique consécutifs, ssi:
`(a+x)*q=b+x` et `(b+x)*q=c+x`
`iff q=(b+x)/(a+x)` et `q=(c+x)/(b+x)
`iff (b+x)/(a+x)=(c+x)/(b+x)
`iff (a+x)(c+x)=(b+x)^2
`iff ac+ax+xc+x^2=b^2+2bx+x^2
`iff x=(b^2-ac)/(a-2b+c)

Comme a, b et c sont des entiers, on a bien prouvé que x est rationnel!

Voilà pour la première partie du problème!
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Problème 3 (suite)

Message  G. Lorang le Mer 18 Mai - 16:37

Dur, dur ... Smile
c) Soit `n` le nombre maximal de personnes qui peuvent jouer ensemble dans deux joutes différentes.
Montrons que `n>=3` est impossible.
1er cas : Peut-il y avoir 4 ou 5 mêmes personnes dans deux joutes différentes ?
Supposons que ABC soient dans 2 joutes différentes.
Alors les joutes se présentent comme suit :
ABCDE
ABCDF avec E=F (5 personnes communes) ou E `!=` F (4 personnes communes)
A_ _ _ _
A_ _ _ _
A_ _ _ _
B_ _ _ _
B_ _ _ _
B_ _ _ _
C_ _ _ _
C_ _ _ _
C_ _ _ _
Ceci est impossible car D doit se trouver dans 5 joutes exactement (chaque joueur joue dans 5 joutes différentes).
Or, on ne peut pas mettre D dans aucune des joutes restantes car il a déjà joué 2 fois contre A, contre B et contre C.
2e cas : Peut-il y avoir 3 mêmes personnes dans deux joutes différentes ?
Maintenant on sait que `n>=4` est impossible.
Supposons à nouveau que ABC soient dans 2 joutes différentes.
Alors les joutes se présentent comme suit :
ABCDE
ABCFG (avec D,E,F et G des joueurs différents)
A_ _ _ _
A_ _ _ _
A_ _ _ _
B_ _ _ _
B_ _ _ _
B_ _ _ _
C_ _ _ _
C_ _ _ _
C_ _ _ _
Ceci est impossible car D doit se trouver dans 5 joutes exactement (chaque joueur joue dans 5 joutes différentes).
Or, on ne peut mettre D que dans une seule des 3 joutes restantes contenant A (car il a déjà joué une fois contre A dans la joute ABCDE) et de même, on ne peut mettre D que dans une seule des 3 joutes restantes contenant B et dans une seule des 3 joutes restantes contenant C. Donc D se trouve seulement dans 4 joutes et pas dans 5, comme cela devrait être le cas.
Conclusion : On a ainsi démontré que 3 personnes ne peuvent pas être dans deux joutes différentes.

d) On s'inspire de c) pour touver une solution possible. (Le plus simple est de répartir les 11 joueurs sur un cercle et de considérer les "rotations successives" de la 1re joute).
ABCEH
BCDFI
CDEGJ
DEFHK
EFGIA
FGHJB
GHIKC
HIJAD
IJKBE
JKACF
KABDG
Comme on obtient les joutes en permutant circulairement les lettres, il suffit de contrôler que A joue exactement 2 fois contre tous les autres.
Voilà pourquoi j'ai écrit A en rouge : cela se vérfie aisément !
OUF ! cheers

Cordialement, G. Lorang

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Problème 4 (suite)

Message  carole le Mer 18 Mai - 17:09

b) Je dois avouer que j' ai déjà un corrigé rédigé de ce problème, mais le point a) je l' avais résolu moi-même.

Si x est rationnel, alors x peut s' écrire sous la forme `n/p` (une fraction irréductible et `n in ZZ_0, p in NN_0`).
En remplaçant dans l' équation du point a):
`n*k=b^2-ac` et `p*k=a-2b+c` (`k in RR`)
En posant `a=0`:
`n*k=b^2` et `p*k=c-2b`
Si on pose `k=n`
`n^2=b^2` et `p*n=c-2b`
Si on pose b=n:
`n^2=n^2` et `p*n=c-2n
`iff c=p*n+2n=n(p+2)`
Donc si x est rationnel, le triplet `(a,b,c)=(0,n,n(p+2))` convient.
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Bravo !

Message  G. Lorang le Ven 27 Mai - 17:10

Je suis tout à fait d'accord avec ta solution, même si tu avais déjà un corrigé .... Smile
20 points cadeau !
Cordialement, G. Lorang
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