OMB-Maxi Demi-finales 2011

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OMB-Maxi Demi-finales 2011

Message  G. Lorang le Ven 4 Mar - 21:38





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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2011

Message  carole le Sam 5 Mar - 17:26

1. `(n^2-6)/(n^2+2)<=1`
`iff n^2-6<=n^2+2
`iff n^2<=n^2+8
Or ceci est toujours vrai, donc il existe une infinité de solutions, la réponse E est correcte!

2. `x^2-4x+(2r+1)` se factorise en deux facteurs du premier degré si et seulement si `Delta>=0`
`iff (-4)^2-4*1*(2r+1)>=0
`iff 12 >=8r
`iff r<=3/2`
Donc la réponse A est correcte!

3. `(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/4)*(1-1/5)*...*(1-1/100)
`=(1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5)*...*(99/100)
En simplifiant on obtient finalement `1/100`, la réponse A est correcte!

4. L' aire du quadrilatère KLMN vaut l' aire du rectangle ABCD moins les aires des triangles AKN, KBL, LCM et MDN. Or on a: AKN=LCM et KBL=MDN, d' où
`a*b-(d*(b-d)+d*(a-d))
`=ab-bd+d^2-ad+d^2
`=2d^2-(a+b)d+ab
Donc la réponse B est correcte!
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TRRRRRRRRES BIEN !

Message  G. Lorang le Lun 7 Mar - 16:37

Jusque là, pas de problème. Je me réjouis déjà pour lire la suite ... Wink
Cordialement, G. Lorang
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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2011

Message  carole le Lun 7 Mar - 18:25

6. Au lieu d' un parallélogramme quelconque considérons déjà le cas d'un rectangle.

Pour calculer l' aire de la partie grise il suffit de retancher les zones vertes et rose de l' aire du parallélogramme.
Or la partie verte vaut la moitié du parallélogramme, donc 60 m2.
On peut exprimer l' aire du triangle rose en fonction du triangle ABD:
`MIB=1/6*ABD`, car `MB=1/2AB` et la hauteur du triangle IMB vaut `1/3` de la hauteur du tiangle ABD.
Donc la partie rose vaut 10.
D' où la zone grise vaut 50!
On constate que les raisonnements sont exactement les mêmes pour un parallélogramme.

7. On a:
`(a+6)^2=2a^2
`iff a^2+12a+36=2a^2
`iff a^2-12a-36=0
`iff a=(12+12*sqrt(2))/2` ou `a=(12-12*sqrt(2))/2` (à rejeter car `a>=0`)
`iff a=6(1+sqrt(2))
Donc la réponse D est correcte.

8. La bonne réponse est 6! Il faut seulement suivre les flèches rouges.


9. Le volume W est la différence des volumes des pyramides APGJ et ANHI.

Or on a:
`VAPGJ=(2/3)^3*V
`VANHI=(1/3)^3*V
D' où `W=V*((2/3)^3-(1/3)^3)=7/27*V
Le rapport `V/W` vaut donc `27/7`!
La réponse D est correcte.

10. On a `10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3628800` possibilitées d' attribuer les 10 sièges aux 10 personnes.
Le nombre le plus proche de 3628800 est 3600000. Donc la réponse D est correcte!

11. `f(x)=sqrt(1/(2x)-1)
domf=`]0;1/2]
Donc les propositions 1 et 4 sont fausses et la proposition 2 est vraie.
imf=`[0;+oo[
Donc la proposition 3 est vraie.
En tout il y a donc 2 propositions vraies!
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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2011

Message  carole le Lun 14 Mar - 17:28

12. Exprimons les aires des disques à l' aide des rayons respectifs:
`D_1`: `pi*R_1^2`
`D_2`: `pi*R_2^2
Donc `D_1` \ `D_2= pi*(R_1^2-R_2^2)
On sait que
`D_1=a/b*D_1` \ `D_2`
`iff pi*R_1^2=a/b*pi*(R_1^2-R_2^2)
`iff R_1^2(1-a/b)=-a/b*R_2^2
`iff R_1^2/R_2^2=-(a/b)/(1-a/b)
`iff R_1^2/R_2^2=a/(a-b)
`iff R_1/R_2= sqrt(a)/sqrt(a-b)
Donc la réponse E est correcte!

13. On cherche les nombres qui vérifient la première condition. Or ceci sont les diviseurs de `16000-100=15900` strictement supérieurs à 100.
Puis on cherche les nombres vérifiant la deuxième condition, à savoir les diviseurs de `20000-125=19875`supérieurs à 125.
Or on a `15900=2^2*3*52*53` et `19875=3*5^3*53`.
Le plus petit commun diviseur supérieur à 125 de ces deux nombres est donc `3*53=159`.
D' où 159 est la bonne réponse!

14. `S_n=n*(1+(1+(n-1)*4))/2=n*(2*n-1)
`S_(2n)=2n*(4*n-1)
`S_(2n)-S_n= 2n(4n-1)-n(2n-1)=n(6n-1)
Donc la réponse D est correcte!

15. Prenons par exemple n=5.
Alors
B: `(5-1)^2+1=17` est divisible par 5. Or ceci est faux!
C: `4^2+1=17` est divisible par 6, ce qui est faux!
D: `4^2=16` est divisible par 5, ceci est faux!
E: `4^2-1=15` est divisible par 4, ce qui est faux!
Donc seule la réponse A peut être correcte!

16. Il faut retrancher du nombre des nombres à 3 chiffres ceux qui ont 3 chiffres égaux.
`900-9=891`
Donc 891 est la bonne réponse!

17. Si n=3, alors m=0.
Si n=4, alors m=2=0+(3-1).
Si n=5, alors m=5=2+(4-1).
Donc p=n-1. La réponse C est correcte!

19. La réponse E est correcte! Voici quelques exemples vérifiant les conditions posées:

On peut voir que la longueur BD varie.
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Bravo !!

Message  G. Lorang le Dim 27 Mar - 21:49

Chère Carole,
J'ai corrigé (enfin) tes réponses. J'ai peu de choses à ajouter, presque tout était parfait, comme toujours ... !
a) J'ai légèrement remanié la réponse 6.
b) J'ai corrigé la réponse 14 : le `n^e` terme de la suite est `1+4(n-1)=4n-3`, pas `1+4n` (erreur classique ... Smile)
c) Pour la 15 on peut remarquer, en écrivant `n=2m+1` que la réponse A (qui semble mystérieuse comme toutes les autres) s'écrit en fait :
`(2m)^m-1` est divisible par `(2m-1)`. Or ceci est évident puisque : `a^n-b^n` est toujours divisible par `a-b`.

200 points cadeau pour toi et bonne continuation !!!!

Cordialement, G. Lorang


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