OMB-Maxi Demi-finales 2009

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OMB-Maxi Demi-finales 2009

Message  G. Lorang le Mar 1 Fév - 18:33






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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2009

Message  carole le Ven 11 Fév - 17:41

1. D est la seule affirmation valable, car on sait seulement qu' un professeur s' est trompé, donc on ne peut pas généraliser que chaque professeur se trompe, ni dire que chaque professeur dire toujours la vérité.

2. Comme 3% possèdent un seul lecteur DVD et la moitié des autres deux, on peut dire qu' en moyenne chaque famille a un lecteur DVD. Donc il y a 1600 lecteurs DVD dans le village. La réponse C est correcte.

3.

Comme [PQ] est tangent au petit cercle en R, on a `PR=RQ` et `AR _|_ PQ`. Donc on peut appliquer le théorème de Pythagore :
`R^2=r^2+10^2
`iff R^2-r^2=100` `(1)
Or la différence des aires des deux cercles est `pi*R^2-pi*r^2`.
D' où (en multipliant `(1)` par `pi`):
`pi*R^2-pi*r^2=pi*100~=314
Donc l' aire de la couronne est 314!

4. On peut faire une liste des nombres premiers de 1 à 100 et puis compter ceux dont la différence vaut 2 (en rouge ou soulignés )
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Donc il existe 9 couples vérifiants cette condition.

5. Il existe 4 carrés qui acceptent A comme centre de symmétrie.

6. La réponse A est correcte car comme les deux sphères ne sont pas tangentes le périmètre du cercle formé est strictement plus grand que 0. Or si on fait tendre le centre de l' une des sphères vers le centre de l' autre, les deux shères sont confondues et le périmètre du cercle d' intersection tend vers `2*pi*r`.
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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2009

Message  carole le Dim 13 Fév - 16:50

8. Comme tous les nombres sont positifs, on a `a<b iff a^n<b^n`.
D' où on peut comparer `(50^(1/24))^48`, `(20^(1/16))^48`, `(10^(1/12))^48`, `(5^(1/8))^48` et `(2^(1/6))^48`.
Or:
`(50^(1/24))^48=50^2=2500
`(20^(1/16))^48=20^3=8000
`(10^(1/12))^48=10^4=10000
`(5^(1/8))^48=5^6=125^2=15625
`(2^(1/6))^48=2^8=256
Donc `5^(1/8)` est le plus grand des nombres. La réponse D est correcte!

9. On a une possibilité pour la première lettre, 24 pour la deuxième, 5 pour le premier et deuxième chiffre respectivement et 3 pour le dernier. D' où on a `1*24*5*5*3=1800` possibilités pour la plaque. La réponse correcte est donc 1800.

11. Si Fabian avait gagné la médaille d' or, alors Fabian n' aurait pas gagné celle d' argent et Guy aurait gagné également la médaille d' or, ce qui est impossible! Comme Fabian n' a pas gagné la médaille d' or, Eddy a gagné celle d' argent, d' où Fabian ne peut plus gagner cette médaille et Guy gagne donc la médaille d' or. La réponse A est correcte!
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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2009

Message  carole le Mar 15 Fév - 17:28

7. En développant on trouve:
`(1-k)^2/(1+k)^2-(1+k)^2/(1-k)^2
`=((1-k)^4-(1+k)^4)/((1-k)^2(1+k)^2)
`=...
`=(-8k(1+k^2))/(1-k^2)^2
Donc a=8!

10. En essayant un peu,
`f(1)=1/2
`f(1/2)=1/3
`f(1/3)=1/4

Il semble donc que `f(1/n)=1/(n+1)`. Vérifions-le :
`f(1/n)=(1+(1/n)^(-1))^(-1)=(1+n)^(-1)=1/(n+1)` VRAI !

Donc `(f@f...@f)(1)=1/(n+1)` lorsqu'il y a `n` facteurs `f`.
Donc la réponse E est correcte!

12. On a
`504=9*8*7=(9!)/(6!)=(9!)/((9-3)!)
Donc le nombre cherché vaut 3!
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Re: OMB-Maxi Demi-finales 2009

Message  carole le Mar 15 Fév - 19:47

13. Considérons le polygone ABCDO

Les angles `hat(ODC)` et `hat(BAO)` sont tous les deux 90°. `hat (CBA)` et `hat (DCB)` valent tous les 2 108°.
Or la somme des angles d' un pentagone vaut 540°.
Donc `hat(AOD)=540°-2*90°-2*108=144°`.
B est la bonne réponse!

14. Soit r' le rayon maximal de la sphère contenue dans le cône.

On a:
`AD=4/3r
`BC=2r`, car `BD=DC=r`
`FH=HD=r'
`hat(HFC)=hat(HDC)=90°
On peut tracer un axe de symmétrie CH pour le polygone CDHF.
Donc CF=CD=r
Considérons l' angle `hat(HAF)=alpha`
`tan(alpha)=(CD)/(AD)=(r')/(AF)
`iff (r')=(CD)/(AD)*(AF)
`iff (r')=(CD)/(AD)*(AC-CF)
`iff (r')=(CD)/(AD)*(sqrt((4/3r)^2+r^2)-r)
`iff (r')=3/4*(sqrt(25/9r^2)-r)
`iff (r')=3/4*(2/3r)
`iff r'=r/2
Donc la réponse A est correcte!
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BRAVO et Merci !

Message  G. Lorang le Ven 4 Mar - 9:31

J'ai corrigé deux petites erreurs :
Q4 : 1 n'est pas un nombre premier (par définition) donc il y a seulement 8 couples !
Q5 : Tu as oublié les deux carrés dont les côtés sont parallèles aux diagonales du quadrillage
Q10 : J'ai ajouté la preuve que `f(1/n)=1/(n+1)`
Cordialement, G. Lorang

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