OMB-Maxi Finale 2009

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

OMB-Maxi Finale 2009

Message  G. Lorang le Mar 1 Fév - 8:51

Question 1
Soit `M` et `N`, respectivement, des points des côtés `[AB]` et `[BC]` d'un rectangle . Soit `a` l'aire du triangle `AMD`, `b` celle de `MBN` et `c` celle de `NCD` .
Exprimer en fonction de `a`, `b` et `c` l'aire du triangle `DMN`.

Question 2
Déterminer tous les triplets de nombres naturels `(x,y,z)` tels que
`x/7+y/11+z/13=0,946 053 946 053...
(le membre de droite est un nombre décimal illimité périodique, de période 6).

Question 3
Prouver qu'il n'existe pas de fonction `f:RR->RR` telle que pour tous réels `x` et `y`,
`f(x+f(y^3))=y+f(x^3)`

Question 4
Deux cercles `C_1` et `C_2` se coupent en deux points distincts `P` et `Q`. Soit `R` sur `C_1` et `S` sur `C_2` tels que `R`, `Q` et `S` soient alignés. Les droites `(RP)` et `(SP)` recoupent `C_1` et `C_2` respectivement en `N` et `M`. Soit `T` l'intersection de et `(RM)` et `(SN)`. Montrer que le triangle `TMN` est équilatéral si et seulement si `(MN)` est tangente aux deux cercles.



Dernière édition par G. Lorang le Mar 1 Fév - 18:34, édité 2 fois
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Question 1

Message  carole le Mar 1 Fév - 16:02

Considérons un repère d' origine A.
Donnons les coordonnées (x,y) au point C, (0,u) au point M et (v,y) au point N.


Alors on a:
`a=(x*u)/2
`c=(y*v)/2
`b=((x-v)(y-u))/2
`=(xy-ux-vy+uv)/2
`=(xy+uv)/2-a-c
D' où
`a+b+c=(xy+uv)/2

Or l' aire du triangle MND est égal à
`|dét(vec(MN),vec(MD))|/2`

`=|(x-v quad,x),(y-u quad,-u)|/2
`=|-ux-uv-xy+ux|/2
`=(xy+uv)/2
`=a+b+c

(Le déterminant de deux vecteurs vaut l' aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs.)
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

A corriger !

Message  G. Lorang le Mar 1 Fév - 16:58

carole a écrit:Considérons un repère d' origine A.
`c=(y*v)/2

Il faudrait dire : `c=(y(x-v))/2`, non ?
Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB-Maxi Finale 2009

Message  carole le Jeu 7 Avr - 14:31

Je reprends les calculs à partir de la faute:
`b=((x-v)*(y-u))/2
`=(xy-ux-vy+uv)/2
`=c-a+(uv)/2
Donc `(uv)/2=a+b-c

Or l' aire du triangle vaut (d' après le calcul avec le déterminant,il y avait encore une faute)
`Aire=(xy-uv)/2=-a-b+c+(xy)/2`
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 2

Message  carole le Jeu 7 Avr - 14:59

`0.946053946053...=946053/999999=947/1001` or `7*11*13=1001
Donc
`x/7+y/11+z/13=947/1001
`iff 143x+91y+77z=947
Si on retranche `2*(143+91+77)`, il reste:
`143(x-2)+91(y-2)+77(z-2)=325
Or `325=2*91+143
Donc une solution est (3;4;2).
Une autre solution semble improbable, mais je ne sais pas trop comment le démontrer.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB-Maxi Finale 2009

Message  Contenu sponsorisé


Contenu sponsorisé


Revenir en haut Aller en bas

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut

- Sujets similaires

 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum