OMB-Maxi Eliminatoires 2011

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OMB-Maxi Eliminatoires 2011

Message  G. Lorang le Dim 23 Jan - 19:26

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Dernière édition par G. Lorang le Mar 1 Fév - 18:37, édité 5 fois
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Réponses 1-13, 15-21, 23-25, 29 et 30!

Message  carole le Dim 23 Jan - 22:02

1. `(100^(n+1)*10^(n-1))/1000^n=`
`A`: `1`
`B`: `10`
`C`: `n`
`D`: `1000`
`E`: `1000^n`

`(100^(n+1)*10^(n-1))/1000^n`
`= (100^n*100*10^n/10)/1000^n
`= (1000^n*100)/(1000^n*10)
`=100/10
`= 10
Donc la réponse B est correcte!

2. Une seule de ces affirmations suivantes est correcte. Laquelle?
`A`: L' inverse d' un produit vaut la somme des inverses.
`B`: L' opposé d' un produit vaut le produit des opposés.
`C`: Le carré d' une somme vaut la somme des carrés.
`D`: L' inverse d' une somme vaut la somme des inverse.
`E`: L' opposé d' une somme vaut la somme des opposés.

Soit `x` et `y` les deux réels avec lesquels on vérifie quelle affirmation est correcte.
`A`: `1/(x*y)=1/x*1/y!=1/x+1/y
`B`: `-(x*y)=-x*y!=(-x)*(-y)
`C`: `(x+y)^2=x^2+2xy+y^2!=x^2+y^2
`D`: `1/(x+y)!=1/x+1/y
`E`: `-(x+y)=-x-y
Donc la réponse E est correcte!

3. Si la 18e semaine le lac est entièrement couvert par les nénufars, alors la semaine avant il n' est couvert que d' un tiers. Donc la 16e semaine il est couvert d' un neuvième. D' où la réponse D est correcte!

4. Comme les 5 carrés sur les diagonales ont toujours la même couleur on a `2*2^4=32` possibilités.
Comme par exemple ceux-ci:


5. `sqrt(9^(16a^4))
`=sqrt((9^(8a^4))^2)
`=9^(8a^4)
Donc la réponse E est correcte!

6. Voici encore une fois la figure (j' ai rajouté quelques points et segments):

On peut y voir que les triangles BCD et AEF sont isométriques (on peut appliquer le théorème de Thalès aux triangles ABC et AEF).
Donc `AF=BC=1/2AB` et `h'=1/2h
D' où l' aire du triangle ABC est 4 fois celle de AEF (=BCD).
Donc la réponse D est correcte!

7. Un polynôme du 2e degré s' écrit `ax^2+bx+c=0`. Or `b=-Sigma` et `c=Pi` (`Sigma` étant la somme des racines et `Pi` le produit des racines).
D' où pour le polynôme `-2x^2+3x+7` on a : `Sigma/Pi=-3/7`.
Donc la réponse B est correcte!

8. On est sûr d' avoir au moins une boule de chaque couleur quand on a sorti 21 boules.
On a dix boules de chaque couleur, or il se peut qu' on sort d' abord tous les boules noires et rouges par exemple et puis seulement une boule jaune (il n' y alors plus d' autres boules). On a ainsi dû sortir 21 boules pour en avoir une de chaque couleur.
D' où la réponse D est correcte!

9. Le chiffre des unités de `1!+2!+3!+...+2010!+2011!` est 3 car à partir de `5!` de chiffre des unités de chaque nombre vaut 0.
Or 1+2+6+24+120=153 (On n' a pas besoin d' additionner les autres nombres comme il n' ont plus d' influence sur le chiffre des unités).
La réponse B est correcte!

10. `{(x^2+4y^2=1(1)),(4x^2+y^2=4(2)):}
(1) `iff x^2=1-4y^2` (1')
dans (2): `4(1-4y^2)+y^2=4
`iff 4-3y^2=4
`iff 3y^2=0
`iff y=0
dans (1'):
`x^2=1-0
`iff x=1`ou `x=-1`
Donc il existe 2 solutions, à savoir (1;0) et (-1;0).
La réponse C est correcte!

11. Si f est une fonction impaire, laquelle des fontions suivantes est également impaire?
`A`: `x|->1-f(x)
`B`: `x|->f(x)+1
`C`: `x|->-2f(x)
`D`: `x|->(f(x))^2
`E`: Aucune des précédentes

`f`est impaire `iff AA x in domf:` ` -x in domf ` et `iff f(-x)=-f(x)
(La première condition est vérifiée pour chacune des fonctions, car le domaine est toujours `RR`)
`A`: `1+f(x)!=-1+f(x)
`B`: `-f(x)+1!=-f(x)-1
`C`: `-(-2f(x))=(-2)*(-f(x))
`D`: `-(f(x))^2!=(-f(x))^2
Donc la réponse C est correcte!

13.`S_n` est la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de raison r=3 et premier terme 1.
`S_(2n)-S_n ` est égal à la somme des termes `u_(n+1)` jusqu' à `u_(2n)`
`=n(u_(n+1)+u_(2n))/2
`=n/2(1+3n+1+3(2n-1))
`=n/2(2+3n+6n-3)
`=1/2n(9n-1)
Donc la réponse C est correcte!

14. Si `ac<0`, alors le graphe de la fonction `x|->ax^2+bx+c` coupe l' axe Ox en 2 points.
Si a>0, alors c<0. Comme le graphe est alors une parabole ouverte vers le haut et son sommet est en-dessous de l' axe, le graphe doit couper l' axe en 2 points.
Si a<0, alors c>0: la parabole est ouverte vers le bas et son sommet est au-dessus de l' axe Ox. Donc le graphe coupe l' axe 0x en deux points.
Donc la réponse C est la bonne!

15. `1/sqrt(x^2)=1/root3(x^3)
C.E.: `x!=0`
`1/sqrt(x^2)=1/root3(x^3)
`iff 1/(|x|)=1/x
`iff {(1/x=1/x (x>=0)),(1/(-x)=1/x (x<0) text( impossible !)):}
Donc le domaine de la fonction est `]0;+oo[`.
La réponse C est donc correct!

16. Soit `t_n` la suite géométrique de premier terme `t_1` et de raison `q` et `u_n` la suite géométrique de premier terme `u_1=t_1` et de raison `q'=q^2`.
Alors `t_1=u_1`, `t_3=u_2` etc.
Ainsi la somme `t_1+t_3+t_5+...+t_(2n-1)=u_1+u_2+u_3+...+u_n`
Or `sum_(1)^n u_n=u_1*(1-q'^n)/(1-q')=t_1*(1-(q^2)^n)/(1-q^2)=t_1*(1-q^(2n))/(1-q^2)
Donc la réponse E est correcte!

17.

Dans cette figure on a (d' après le th. des angles inscrits dans un cercle):
`hat(PQT)=hat(SQR)
`hat(TPQ)=hat(TSR)
`hat(STQ)=hat(QTP)=hat(PRS)=hat(QRS)
Donc les triangles sont semblables et on peut appliquer le théorème de Thalès:
(`(|QT|)/(|QS|)`=)`(|PQ|)/(|QR|)=(|QT|)/|QS|
`iff (|PQ|)/(|PT|)=(|SQ|)/(|SR|)
Donc la réponse A est correcte!

18.

Le plus court chemin est `7+6+4+10+2+3+4+10=46`

19. Les deux carrés dont il s' agit sont 196 et 225 (`14^2` et `15^2`).
D' où le produit formé par les deux naturels est `14*15=210` !
On trouve les carrés `a^2`et `b^2` de la manière suivante :
`a^2-b^2=29 iff (a-b)(a+b)=29`
Or 29 est premier donc `a-b=1` et `a+b=29`, système qu'on résoud sans problème !

20. Soit x la somme qu' on reçoit si on gagne un match dans les huitièmes.
Le montant total qui est distribué aux gagnants vaut `8*x+4*2x+2*4x+1*8x=32x=8000`€
Donc `x=250`€.
Or le gagnant du tournoi reçoit `x+2x+4x+8x=15x=3750`€.
Donc la réponse D est correcte!

21. `f(x)=x+2` et `(g@f)(x)=g(f(x))=x^2-4
Or `x^2-4=(x-2)(x+2)=((x+2)-4)(x+2)
D' où g(x)=x(x-4) par exemple et `g(2)=2*(2-4)=2*(-2)=-4
La réponse A est correcte!

23. On commence par vérifier le nombre de diviseurs par le plus grand nombre inférieur à 100.
`#div 99>4`
`#div 98>4
`#div 97<4
`#div 96>4
`#div 95=4
Donc 95 est la bonne réponse!

24. Par exemple un élève A a 25 amis, l' élève B a trois amis, l' élève C a deux amis et l' élève D a également deux amis, le reste de la classe ayant seulement un ami (à savoir A).
24 élèves ont alors un nombre impair d' amis. Donc les réponses B et D sont fausses!
2 élèves ont un nombre pair d' amis, donc la réponse C est fausse.
Or si un des élèves a un ami en plus, un autre en a forcément également un en plus. D' où le nombre d' élèves ayant un nombre impair d'amis reste toujours pair. La réponse A est correcte!

25. La seule solution de cette équation est (m,n)=(3;2). Il faut que n soit un nombre pair, or pour tout nombre n supérieur à 2 l'équation ne permet plus de valeurs entières pour m. La réponse B est correcte!

29. On cherche le plus grand score qu' on ne peut pas réaliser.
Or on peut réaliser les scores suivants:
4;7;8;11;12;14;15;16;18;19;20;21;22;... à partir d' ici chaque score est réalisable.
Donc le plus grand score qu' on ne peut pas réaliser est 17!

30. `440=20*22
Or on a `(2x^2-x-1)(2x^2-x+1)=440` et la différence de `2x^2-x-1` et `2x^2-x+1` est 2 (qui est la différence de 22 et 20)
D' où on a les mêmes solutions que pour l' équation `2x^2-x=21` (`Delta>0`).
Ces solutions sont `(1+sqrt(Delta))/4` et `(1-sqrt(Delta))/4`.
La somme des solutions est donc:
`(1+sqrt(Delta)+1-sqrt(Delta))/4=2/4=1/2
Donc la réponse B est correcte!

Il reste encore les questions 12,22,26,27 et 28 pour répondre.



Dernière édition par carole le Jeu 27 Jan - 19:11, édité 1 fois
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Vive les mathématiques !

Message  G. Lorang le Lun 24 Jan - 4:11

BRAVO ! Je trouve que tu fais un travail formidable sur ce forum !!
Encore 100 points cadeau pour toi ! bounce bounce
Cordialement G. Lorang
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Réponses restantes

Message  carole le Mer 26 Jan - 16:57

12. C est la bonne réponse!


22. Comme on a une seule condition: Alain (A) passe avant Bernard (B), Catherine (C) avant Dorothée (D) et Éric (E) avant Fanny (F), il suffit de considérer toutes les possibilités si Alain est le vainqueur et de multiplier ce nombre par 3 pour recevoir toutes les possibilités possibles.

A B C D E F
A B C E D F
A B C E F D
A B E F C D
A B E C F D
A B E C D F

On a 6 possibilités si B est le deuxième, de même pour B 3e, 4e, 5 e ou 6e.
Donc on a `3*5*6=90` possibilités.
La réponse C est correcte!

26. La somme de tous les chiffres des nombres de 1 à 2011 peut se calculer comme suit:
Somme des chiffres des unités de 1 à 2000: `200*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)`
Somme des chiffres des dizaines de 1 à 2000: `200*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)`
Somme des chiffres des centaines de 1 à 2000: `200*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)`
Somme des chiffres des milliers de 1 à 2000: `1000*1+2`
D' où la somme des chiffres des nombres 1 à 2000 est `28002`.
On peut y ajouter les chiffres des nombres de 2001 à 2011 et on trouve finalement que la somme des chiffres de 1 à 2011 vaut `28072`!
Donc la réponse C est correcte!

27. `2^(1/2)=sqrt(2)=root4(4)=4^(1/4) ~~ 1.4 != root3(3)` (car `sqrt(2)^3!=3 `)
Donc on peut rejeter déjà les réponses A,B et C!
En outre `5^(1/5)=2^(1/2)
`iff (5^(1/5))^5=(2^(1/2))^5
`iff 5=4sqrt(2)
Or ceci est faux!
Donc la réponse D est correcte!

28. Les points d' intersection des deux figures vérifient le système d' équations
`{((x-y+2)(3x+y-4)=0 text( [1])),((x+y-2)(2x-5y+7)=0 text( [2])):}
Les points qui vérifient [1] se trouvent sur l'une des deux droites rouges, d'équations : `x-y+2=0` et `3x+y-4=0`
Les points qui vérifient [2] se trouvent sur l'une des deux droites vertes, d'équations : `x+y-2=0` et `2x-5y+7=0`
On représente facilement les 4 droites et on voit que les ensembles rouge et vert ont 4 points communs (on n'a pas besoin de trouver leurs coordonnées ... Smile )



Donc la réponse E est correcte!

J' espère qu' il n' y a pas de fautes dans mes réponses. Donc je devrais avoir résolu toutes les questions de cet éliminatoire!
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Bravo !

Message  G. Lorang le Mer 26 Jan - 17:09

Je vais vérifier les réponses dans les prochains jours.
Pour le moment je dois corriger mes devoirs Sad
Cordialement, G. Lorang
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autre méthode pour la question 28

Message  carole le Jeu 27 Jan - 15:40

`(x-y+2)(3x+y-4)=0
`iff x-y+2=0` ou `3x+y-4=0`
Ceci sont deux équations de droites. Donc la figure est constituée de deux droites.
`(x+y-2)(2x-5y+7)=0
`iff x+y-2=0` ou `2x-5y+7=0
Ici la figure décrit également deux droites.
Les points communs aux deux figures sont donc déterminés par les systèmes suivants:
`{(x-y+2=0),(2x-5y+7=0):}
`{(3x+y-4=0),(2x-5y+7=0):}
`{(x-y+2=0),(x+y-2=0):}
`{(3x+y-4=0),(x+y-2=0):}
Or ces systèmes n' ont pas de solution commune d' où il existe 4 solutions.
La réponse E est correcte!
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Tout corrigé !

Message  G. Lorang le Jeu 27 Jan - 18:54

Salut,
J'ai tout relu, c'était presque parfait. J'avais aussi modifié la réponse à la question 28 avant de voir que tu as proposé une deuxième solution.
Mais ta première solution de la question 28 ne me plaisait pas ... Smile

J'ai un peu amélioré la rédaction de la q19 et d'autres détails mineurs dans d'autres questions.

Il faut que tu revoies encore une fois les questions 24 et 25. Les raisonnements ne sont pas clairs pour moi.
J'ai l'impression que dans la 24 tu raisonnes uniquement sur l'exemple.
Dans la 25 tu n'expliques pas pourquoi il ne peut pas y avoir de solutions entière m pour un n>2.

Cordialement, G. Lorang
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Re: OMB-Maxi Eliminatoires 2011

Message  carole le Jeu 27 Jan - 19:51

25. pour `n>2`:
`2^m-n^2-2n=0
`iff 2^m-n(n+2)=0
or `n(n+2)` ne peut plus s' écrire sous la forme `2^x` si `n>2`.
Par exemple:
n=4: `4*6=24=2^3*3`
n=8: `8*10=2^4*5
Si `n>2`alors `n+2` ne peut pas s'écrire sous forme d'une puissance de 2 si `n` est une puissance de 2 et, si `n+2` est une puissance de 2, `n` ne l' est pas. Or seulement le produit de deux puissances de 2 devient une puissance de 2.

24. Soient x le nombre des élèves ayant un nombre impair d'amis.
Si une nouvelle amitié entre deux élèves se crée resp. une amitié s'annule, alors x reste constant (si l' un des élèves avait avant un nombre pair d' amis et l' autre un nombre impair) ou bien devient x+2 (si les deux élèves avaient avant chacun un nombre pair d' amis) ou bien devient x-2 (si les deux élèves avaient avant un nombre impair d' amis). Or au début de l'année, on peut supposer que chaque élève a 0 amis et donc aucun élève n'a un nombre impair d'amis. Donc au début x=0 et x ne varie que en ajoutant ou en retranchant 2 (ou des multiples de 2) à la valeur initiale. Donc il faut que x soit pair.
Désolé, mais pour l' instant je ne trouve pas une meilleure solution au problème et je dois avouer que celle-ci est assez confuse. Rolling Eyes
J'espère que maintenant mon raisonnement est plus clair qu'avant et merci d' avoir corrigé les autres questions ! Smile
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Ok !

Message  G. Lorang le Jeu 27 Jan - 21:09

J'ai essayé d'améliorer encore un peu la 25.
Est-ce que tu es d'accord avec mes petites corrections ?
Cordialement, G. Lorang
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Re: OMB-Maxi Eliminatoires 2011

Message  carole le Dim 30 Jan - 16:33

Oui, merci d' avoir corrigé et amélioré mes réponses!
Cela prend quand même un peu de temps de tout revoir Wink.
Carole
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Re: OMB-Maxi Eliminatoires 2011

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