Critères de similitude des triangles

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Critères de similitude des triangles

Message  DaVinci le Dim 23 Jan - 11:31

Bonjour,
Keint Dir mir w.e.g. bei folgenden Problemer helefen:

-Démontre que deux angles ayant leurs côtés perpendiculaires sont égaux ou supplémentaires.
-Démontre que deux triangles à côtés perpendiculaires sont semblables.

Merci,
DaVinci

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Réponse

Message  G. Lorang le Mar 25 Jan - 8:36

D'abord ma réponse à la 1re question :
Quitte à translater l'un des deux angles, on peut supposer qu'ils ont le même sommet.
Le 1er angle est disons `/_BAC`, de sommet A. On trace donc deux droites, l'une (DF) perpendiculaire à (AB), l'autre (EG) perpendiculaire à (AC).
Le 2e angle est alors ou bien `/_DAE` ou bien `/_EAF` ou bien `/_FAG`, car les côtés du 2e angle doivent être perpendiculaires à ceux du 1er.
`/_DAE=/_CAE-/_CAD=90°-(90-/_BAC)=/_BAC`
`/_EAF=180°-/_DAE=180°-/_BAC`
`/_FAG=/_DAE=/_BAC`
Donc le 2e angle est soit égal, soit supplémenaire avec le premier.



Maintenant la réponse à la 2e question :
Soit ABC le premier triangle et A'B'C' le 2e.
Par hypothèse, les côtés du 2e sont perpendiculaires aux côtés du 1er.
Donc, supposons que : `(AB)_|_(A'B')`, `(AC)_|_(A'C')` et `(BC)_|_(B'C')` (Fais une figure)
Les angles `/_A` et `/_A'`, `/_B` et `/_B'`, `/_C` et `/_C'` sont donc des angles à côtés perpendiculaires.
D'après la 1re question, on sait que `/_A` et `/_A'`, `/_B` et `/_B'`, `/_C` et `/_C'` sont deux à deux égaux ou supplémentaires.
Pour démontrer que les deux triangles sont semblables, il faudrait montrer que deux paires au moins de ces angles sont égaux.
(Les deux derniers sont alors automatiquement égaux puisque dans un triangle la somme des 3 angles est 180°)

1er cas : `/_A'=180°-/_A`, `/_B'=180°-/_B`, `/_C'=180°-/_C` (3 paires d'angles d'angles supplémentaires)
Ceci est impossible car `A'+B'+C'=180°` (je laisse de côté le `/_ `ok ?`
`iff 180-A+180-B+180-C=180`
`iff 540-(A+B+C)=180`
`iff 540-180=180`
`iff 360=180` impossible !

2e cas : `/_A'=180°-/_A`, `/_B'=180°-/_B`, `/_C'=/_C` (2 paires d'angles d'angles supplémentaires)
Ceci est aussi impossible car : `A'+B'+C'=180°`
`iff 180-A+180-B+C=180`
`iff 360-(A+B)+C=180`
`iff 360-(180-C)+C=180` car `A+B+C=180`
`iff 180+2C=180`
`iff C=0` impossible !

Donc il y a au plus 1 paire d'angles supplémentaires dans les deux triangles. En d'autres termes, 2 angles au moins dans les 2 triangles sont égaux. Comme nous l'avons déjà dit, ceci implique que les deux angles restants sont aussi égaux.
Conclusion : les deux triangles ont les mêmes angles et sont donc semblables !

OUF !!!

Si on veut faire la démonstration correctement, c'est à peu près ce que je viens d'écrire...

Cordialement, G. Lorang

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Alles verstan...

Message  DaVinci le Mer 26 Jan - 20:12

Leiwen M. Lorang,

Villmols merci fir di détailleiert äntwert, lo ass alles fir d'prüfung verstan.

DaVinci

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OK, bonne chance !

Message  G. Lorang le Mer 26 Jan - 21:28

Hoffen mol dats de wirklech alles verstan hues ... Smile
Bonne chance an der Prüfung !
Mat beschte Gréiss, G. Lorang
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